高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用

习题 6-2 (A)

1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： (1)y?x2?6x?8,[0,3] (2)y?2x?x2,[0,3]

2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.

图 6-1

3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1)y?ex,y?e?x与x?1;

(2)y?lnx与x?0,y?lna,y?lnb(b?a?0);

(3)y?2x?x2与y?x,y?0;

(4)y2?2x,y2??(x?1);

(5)y2?4(1?x)与y?2?x,y?0;

(6)y?x2与y?x,y?2x;

(7)y?2sinx,y?sin2x(0?x??);

8)y?x2(2,x2?y2?8（两部分都要计算）;

1

4．求由曲线y?lnx与直线y?0,x?e?1,x?e所围成的图形的面积。

5．求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y2?2px及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形的面积。 7．求曲线x?y?a与两坐标轴所围成的图形的面积。

8．求椭圆x2?y2a2b2?1所围图形的面积。

9．求由摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的一拱（0?t?2?)与横轴所围图形的面积。

10．求位于曲线y?ex下方与由该曲线过原点的切线的左方及x轴之间的图形的面积。11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： (1)??2asin?(a?0); (2)??2a(2?cos?)(a?0); (3)?2?2cos2?（双纽线）;

12.把抛物线y2?4ax及直线x?x0(x0?0)所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。

13.由y?x3,x?2,y?0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。

14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： (1)y?achxa与x?0,x?a,y?0,绕x轴;

(2)y?sinx与y?2x?,绕x轴;

(3)y?sinx与y?cosx(0?x??2),绕x轴;

(4)y?lnx,与x?2,y?0绕y轴;

(5)y?2x?x2与y?x,y?0绕y轴;

(6)(x?5)2?y2?16,绕y轴;

15.求由抛物线y2?4(1?x)及其在(0,2)处的切线和x轴所围的图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积。

16.求x2?y2?4,x?3y2所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

.一立体以椭圆x217100?y225?1为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形(图6?2)， 求其体积。 2

18.求底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。19.计算曲线y?lnx上相应于3?x?20.计算曲线y?8的一段弧的长度。

x(3?x)上相应于1?x?3的一段弧(6?3)的长度。 321.求对数螺线??ea?相应于??0到???的一段弧长。

22.求曲线???1相应于??34到??的一段弧长。 43?x?arctant?23.求曲线?上自t?0到t?1的一段弧长。 12y?ln(1?t)?2?24.求摆线x?1?cost,y?t?sint上相应于0?t?2?的一拱的长度。

习题 6-2 (B)

1．求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积： (1)??3a与??2acos?;

(2)??3cos?与??1?cos?;(3)??2sin?与?2?cos2?;2.假设曲线L1:y?1?x2(0?x?1)与x轴和y轴所围区域被曲线L2:y?ax2分成面积相等的两部分(图6?4)，其中a是大于零的常数，试确定a的值。3.用积分方法证明图6?5中球缺的体积为V??H2(R?H).3

x2124.一铁铸件，其形状为两抛物线y?,y?x?1与直线y?10围成的图形绕y轴旋转 1010而成的旋转体，铁的密度是7.8(g/cm3)，求铸件的质量。5.求y?x,y?2及x?0所围成的图形绕(1)x轴；(2)y轴；(3)直线y?2；(4)直线x?4

旋转而成的旋转体的体积。6.求x2?y2?a2,绕x??b(b?a?0)旋转所成旋转体的体积。

7.求第一象限内由曲线x?y?y3和y轴围成的平面图形绕直线y?1旋转而成的旋转体的体积。

3

8.求由摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的一拱（0?t?2?)与x轴所围图形绕直线y?2a旋转而成的旋转体的体积。

9.证明由平面图形0?a?x?b,0?y?f(x)绕y轴旋转而成的旋转体的体积为2??baxf(x)dx.

10.在摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)上求分摆线第一拱的弧段长为1:3的分点坐标。

11.求抛物线y?12x被圆x2?y2?3所截下的有限部分的弧长。 212.计算半立方抛物线y2?2x(x?1)3被抛物线y2?截得的一段弧的长度。 3313.证明曲线y?sinx(0?x?2?)的弧长等于椭圆x2?2y2?2的周长。

2求由星形线x32y32a314.??(或x?acos3t，y?asin3t,a?0)(1)所围成的图形的面积；(2)所围成的图形的绕x轴旋转而成的旋转体体积；(3)整个弧长。

15.利用元素法证明由xoy平面上一段曲线弧y?f(x),(f(x)?0,0?x?b)绕x轴旋转一周产生的曲面（称为旋转曲面）的表面积（或称为旋转体的侧面积）为2??baf(x)1?f2(x)dx.

并利用此公式证明半径为R的球体的表面积为4?R2.

习题 6-3 (A)

1.由实验知道，弹簧拉伸过程中，需要的力F（单位：N）与伸长量s（单位：cm）成正比，即F?ks（k是比例系数），计算把弹簧拉伸6(cm)所作的功。

2.直径为20(cm)，高为80(cm)的圆柱体内充满压强为10(N/cm2)的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需作多少功。3.一物体按规律x?ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x?0移至x?a时，克服阻力所作的功。

4.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1(cm)；如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？5.半径为R(m)的半球形水池，其中充满了水，问把池内的水完全吸尽，至少做多少功？

6.设一正圆锥形贮水池，深15(m)，口径20(m)，水面离池口有1(m)，若要将水从池口全部吸尽，需要做多少功？

7.设沙的比重为2g(kN/m3)，现要堆成一个半径为R(m)，高为h(m)的圆锥形沙堆，问至少做多少功？

4

8.一底为8(cm)，高为6(cm)的三角形薄片，垂直沉没在水中，顶在上离水面3(cm)，底在下

且底边与水面平行，试求它每面所受水压力的大小。9.水坝中有一直立的矩形闸门，阔10(m)，高6(cm)，闸门上边平行于水面；(1)求水面在闸门顶上8(m)时，闸门所受的水压力； (2)欲使闸门所受的压力加倍，水面应升高多少？10.一根长为l，线密度为?的均匀细直棒，在棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力。

习题 6-3 (B)

1.半径为R(m)的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？若球的比重是水的两倍，问所做的功是多少？2.设有一个由抛物线y?x2绕其对称轴旋转而成的容器，容积为72?(cm3)，盛满了水，现在要将水抽出64?(cm3)，问需做多少功？

3.等腰三角形薄片垂直沉没在水中，其底与水面相齐，薄板的高为h,底为a,水比重为1(1)计算薄板一侧所受的水压力；(2)若倒转薄板，使顶点与水面相齐，而底平行于水面，则水对薄板一侧的压力增加多少？4.有两根匀质细杆，长度均为l，位于同一直线上，相间距离为a，A杆密度为?，B杆密度为?，求两细杆之间的引力。

习题 6-4

1.某产品的边际成本P为产量x的函数P(x)?100?0.002x

求产量从1000到2000时成本的增加量。

2.某产品生产x个单位时，总收入R的变化率（边际收入）为R?(x)?200?x100，(x?0)

(1)求生产50个单位时的总收入；(2)若已经生产了100个单位，则求再生产100个单位时的总收入。

3.已知某产品的边际收益是R?(x)?25?2x，边际成本是C?(x)?13?4x，固定成本是C0?10，求当x?5时的毛利和净利。 提示：净利?毛利－固定成本

4.设某种产品每天生产x单位的固定成本为20元，边际成本函数为C?(x)?0.4x?2（元/单位），求总成本函数C(x);如果这种产品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L(x)，

并问每天生产多少单位时才能获得最大利润。 5

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